Отдел теории функций

Отдел теории функций был организован в 1934 году на основе одноименного подразделения бывшего Физико-математического института АН СССР, который после переезда из Ленинграда в Москву разделился на два научных учреждения: Математический институт АН СССР им. В. А. Стеклова и Физический институт АН СССР им. П. Н. Лебедева. Отдел сразу же стал одним из основных научных центров в мире по теории функций и остается таковым поныне. В нем ведутся исследования по классическим и новым вопросам математического анализа, cоздаются и разрабатываются новые методы решения актуальных задач теории функций. Итоги многих исследований находятся на уровне лучших мировых достижений и часто предопределяют развитие математики в этой области, так как имеют основополагающее значение.

Первыми заведующими отдела в разные годы были всемирно известные ученые — академики Н. Н. Лузин, М. А. Лаврентьев, С. М. Никольский.

Н. Н. Лузин является основателем большой математической школы. Его труды по теории тригонометрических рядов, метрической теории функций и теории функций комплексного переменного давно уже стали классическими. Их с большим успехом развивали сотрудники отдела — его ученики и последователи: академики Б. С. Кашин, П. С. Новиков, П. Л. Ульянов, члены-корреспонденты АН СССР — Л. В. Келдыш, Д. Е. Меньшов, доктора физ.-матем. наук С. В. Бочкарев, К. И. Осколков, С. А. Теляковский, В. Н. Темляков. Н. Н. Лузин — один из создателей дескриптивной теории функций. Особенно важно отметить открытие им проективных множеств. В дальнейшем подтвердилось его мнение о том, что для этих множеств не может быть решен (в классическом смысле) ряд задач, в частности, вопрос об их измеримости. Эти работы стимулировали исследования в области математической логики (П. С. Новиков).

Д. Е. Меньшов работал в отделе с первых дней его создания. Он разрабатывал теорию тригонометрических и ортогональных рядов, а также теорию моногенных функций и конформных отображений. В 1951 г. ему за фундаментальные исследования по проблеме представления функций тригонометрическими рядами была присуждена Государственная премия, а в 1975 г. — академическая премия им. П. Л. Чебышева за работы по суммированию тригонометрических рядов.

М. А. Лаврентьев разработал вариационные принципы конформных отображений, получил ряд фундаментальных результатов по граничным свойствам аналитических функций и приближению непрерывных функций многочленами в комплексной области. Он решил ряд основных задач теории квазиконформных отображений, за что в 1946 г. получил Государственную, а в 1958 г. — Ленинскую премии. Его ученик — член-корреспондент АН СССР А. В. Бицадзе, применив методы теории функций комплексного переменного, решил ряд принципиально важных трудных задач теории уравнений с частными производными, в том числе и смешанного типа. Член-корреспондент АН СССР А. Ф. Леонтьев разработал теорию рядов экспонент.

Интенсивно развивалась в отделе теория приближений функций. В этом направлении работали академики: С. Н. Бернштейн, А. А. Гончар, М. В. Келдыш, М. А. Лаврентьев, С. М. Никольский, член-корреспондент АН СССР С. Н. Мергелян и др. В 1942 г. С. Н. Бернштейну за фундаментальные результаты по теории приближения функций была присуждена Государственная премия.

В 1952 г. С. Н. Мергеляну за работы по наилучшим приближениям многочленами функций комплексного переменного была присуждена Государственная премия.

В 1948–1957 годах из отдела теории функций выделился отдел конструктивной теории функций, который возглавил академик С. Н. Бернштейн.

В 1960–1988 гг. отделом заведывал академик С. М. Никольский, в 1988–1994 г. — член-корреспондент РАН Л. Д. Кудрявцев, с 1994 по 2020 гг. отделом заведовал член-корреспондент РАН О. В. Бесов, с 2020 г. отделом заведует академик Б. С. Кашин. В настоящее время, кроме них, в отделе работают члены-корреспонденты РАН С. В. Конягин, С. И. Похожаев, доктора физико-математических наук С. В. Бочкарев; кандидат физико-математических наук Ю. В. Малыхин.

Более 45 лет при отделе работает организованный С. М. Никольским и получивший мировое признание научно-исследовательский семинар по теории дифференцируемых функций многих переменных. В настоящее время им руководит С. М. Никольский. В число его руководителей в разные годы входили также В. И. Кондрашов, Л. Д. Кудрявцев и С. Л. Соболев.

В своих работах С. М. Никольский установил связь между гладкостью функций, их приближениями и вложениями классов функций и впервые получил замкнутую теорию вложения функциональных пространств. Эти труды послужили началом глубоких исследований в теории дифференцируемых функций многих переменных в ее приложениях к вариационным методам (С. М. Никольский и его ученики: О. В. Бесов, Л. Д. Кудрявцев, П. И. Лизоркин). В 1972 г. С. М. Никольский получил академическую премию им. П. Л. Чебышева за монографию «Приближение функций многих переменных и теоремы вложения», а в 1977 г. О. В. Бесову, В. И. Ильину и С. М. Никольскому была присуждена Государственная премия за монографию «Интегральные представления функций и теоремы вложения».

В отделе была разработана теория вложений функциональных пространств дифференцируемых функций (О. В. Бесов, Л. Д. Кудрявцев, П. И. Лизоркин, С. М. Никольский). За исследование проблем краевых задач для дифференциальных операторов и их приложений в математической физике академику О. А. Олейник и члену-корреспонденту РАН Л. Д. Кудрявцеву в 1988 г. присуждена Государственная премия СССР. В 1952 г. О. А. Олейник присуждена премия АН СССР им. Н. Г. Чеботарева; в 1964 г. — премия им. М. В. Ломоносова за исследования по математическим проблемам теории пограничного слоя; в 1995 г. — премия РАН им. И. Г. Петровского за исследования по асимптотическим методам в математической физике.

В отделе активно развивалась теория ортогональных рядов, в частности:

• были начаты разносторонние исследования рядов по системе Хаара и их приложениям (П. Л. Ульянов);
• получены важные результаты по проблемам сходимости и суммируемости рядов Фурье по классическим и общим ортонормированным системам (С. В. Бочкарев, Б. С. Кашин, К. И. Осколков, С. Б. Стечкин, С. А. Теляковский, П. Л. Ульянов);
• решен ряд принципиальных вопросов построения базисов в функциональных пространствах (С. В. Бочкарев);
• по теоретическим задачам теории наилучших приближений в банаховых пространствах (С. Б. Стечкин), по определению поперечников классов функций (Б. С. Кашин, С. Б. Стечкин, В. Н. Темляков),
• по приближению функций многих переменных гармоническими многочленами и билинейными формами (П. И. Лизоркин, С. М. Никольский, В. Н. Темляков);
• разработаны вероятностные (С. В. Бочкарев, Б. С. Кашин) и геометрические (Б. С. Кашин) методы исследования ортогональных рядов и приближений функций.

Глубокие исследования были проведены по теории представления групп, спектральной теории линейных операторов и функциональному анализу (М. А. Наймарк).

В 1993 г. П. Л. Ульянову за исследования по метрической теории функций присуждена Государственная премия России.

В вопросах численного анализа получены новые оценки для погрешностей квадратурных и кубатурных формул (С. М. Никольский, С. Л. Соболев).

Получены оценки сходимости разностных приближенных методов решения краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона; разработан блочный экспоненциально сходящийся метод решения краевых задач для уравнения Лапласа на многоугольниках и конформного отображения многосвязанных круговых многоугольников на канонические области (Е. А. Волков).

В 1984–1989 гг. в отделе работал академик С. Л. Соболев. В это время он завершил переработку своей классической монографии «Некоторые применения функционального анализа в математической физике».

В области нелинейного анализа разработан новый конструктивный метод вариационного исчисления — метод глобального расслоения, на основании которого установлена разрешимость широкого класса существенно нелинейных эллиптических задач. На основании вариационных «тождеств Похожаева» изучена разрешимость эллиптических задач во всем пространстве с суперкритическим показателем нелинейности. На основании нового понятия «нелинейной емкости» создана общая теория отсутствия решений нелинейных задач эллиптических, параболических и гиперболических типов, включая многомерные нелинейные гиперболические уравнения (член-корреспондент РАН С. И. Похожаев).

Проведены исследования по спектральной теории как самосопряженных, так и несамосопряженных дифференциальных операторов, по проблемам сходимости спектральных разложений и по связи этой теории с проблемой полной интегрируемости нелинейных дифференциальных уравнений (академик В. А. Ильин).

Проведены исследования асимптотических свойств нелинейных уравнений с частными производными (академик О. А. Олейник).

Разработана теория усреднения дифференциальных операторов и ее приложения в физике, механике и инженерных науках (академик О. А. Олейник).

Сотрудники отдела удостоены следующих государственных и академических наград:

С. М. Никольский

Государственная премия СССР - 1952 г.

премия им. П. Л. Чебышева - 1972 г.

Золотая медаль им. И. М. Виноградова - 1985 г.

Государственная премия Украины - 1994 г.

премия им. А. Н. Колмогорова - 2000 г.

премия им. М. В. Остроградского НАН Украины - 2000 г.

О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский

Государственная премия СССР - 1977 г.

Я. С. Бугров, С. М. Никольский

Государственная премия СССР - 1987 г.

Ю. В. Егоров, В. А. Кондратьев, Л. Д. Кудрявцев, О. А. Олейник

Государственная премия СССР - 1988 г.

Л. Д. Кудрявцев

премия Московского математического общества - 1954 г.

О. В. Бесов

премия Московского математического общества - 1960 г.

С. В. Бочкарев

Международная премия по математике им. Р. Салема - 1977 г.

Е. А. Волков

премия Отделения математики АН СССР - 1988 г.

премия за лучшую публикацию в изданиях МАИК "Наука" - 1998 г.

Б. С. Кашин

премия Московского математического общества - 1988 г.

С. А. Теляковский

премия конкурса РФФИ научно-популярных статей - 1998 г.

Сотрудники отдела неоднократно выступали на международных математических конгрессах в качестве приглашенных докладчиков:

С. М. Никольский (Амстердам, 1954 г.)

А. А. Гончар (Москва, 1966 г.)

П. Л. Ульянов (Ницца, 1970 г.)

С. В. Бочкарев (Хельсинки, 1978 г.)

Б. С. Кашин (Варшава, 1983 г.)